Máximos e Mínimos: (n) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Máximos e Mínimos! A gente tem a função
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
O determinante da Hessiana é:
Passo 4
Agora, analisamos o determinante
:
- Se
e , então temos um mínimo. - Se
e , então temos um máximo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Isso significa que o ponto crítico
é um mínimo da função.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo da função
.