Máximos e Mínimos: (n) Considere a função . Encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Máximos e Mínimos! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante da Hessiana é:

Passo 4

Agora, analisamos o determinante :
  • Se e , então temos um mínimo.
  • Se e , então temos um máximo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Isso significa que o ponto crítico é um mínimo da função.

Resposta

O ponto crítico é um mínimo da função .

Exercícios relacionados

Máximos e Mínimos: (k) Dada a função , encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (i) Considere e e . Encontre e .
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: © Dada a função e a restrição , determine os pontos de máximo e mínimo usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Determine o domínio da função