Multiplicadores de Lagrange Questão 3 Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (b) Dada a função
, encontre os pontos de máximo e mínimo sujeitos à restrição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
com a restrição
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que a gente chama de
. Então, a função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver. Vamos lá:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), temos:
Da equação (2):
Substituindo a equação (4) na equação (5):
Para que isso seja verdadeiro, ou
ou
. Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Se
, substituindo na equação (4):
Mas isso não satisfaz a restrição
, já que
. Então, esse caso não é válido.
Caso 2:
Resolvendo para
:
Vamos usar esses valores de
para encontrar
e
.
Passo 5
Para
:
Substituindo na equação (4):
E na restrição:
Então,
.
Para
:
Substituindo na equação (4):
E na restrição:
Então,
.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
são:
-
Máximo:
e com valor . -
Mínimo:
e com valor .
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.
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e
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. Calcule
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(a)