Multiplicadores de Lagrange Questão 3 Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (b) Dada a função , encontre os pontos de máximo e mínimo sujeitos à restrição

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os pontos de máximo e mínimo da função com a restrição . Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que a gente chama de . Então, a função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver. Vamos lá:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), temos:
Da equação (2):
Substituindo a equação (4) na equação (5):
Para que isso seja verdadeiro, ou ou . Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Se , substituindo na equação (4):
Mas isso não satisfaz a restrição , já que . Então, esse caso não é válido.
Caso 2:
Resolvendo para :
Vamos usar esses valores de para encontrar e .

Passo 5

Para :
Substituindo na equação (4):
E na restrição:
Então, .
Para :
Substituindo na equação (4):
E na restrição:
Então, .

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo: e com valor .
  • Mínimo: e com valor .

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