Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia: Sejam z = f(x, y) = x^2 * y^2 ; x(t) = raiz(t) e y(t) = t^3, calcule dz/dt(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de em relação a , onde é uma função de e , que por sua vez são funções de .
Matéria envolvida: Derivadas utilizando a regra da cadeia.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
  • Saber derivar funções polinomiais e funções com potências fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Queremos encontrar .

Passo 3

A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Isso significa que vamos derivar em relação a e , depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a e somar tudo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Substituímos todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos e nas expressões:
Substituindo:

Passo 8

Simplificando as potências:
Então:

Passo 9

Simplificando os termos:

Passo 10

Somando os dois termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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