Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia:
e
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de
em relação a
, onde
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
.
Matéria envolvida: Derivadas utilizando a regra da cadeia.
O que vamos precisar:
- Conhecer a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
- Saber derivar funções polinomiais e funções com potências fracionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Queremos encontrar
.
Passo 3
A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Isso significa que vamos derivar
em relação a
e
, depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
e somar tudo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Substituímos todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos
e
nas expressões:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando as potências:
Então:
Passo 9
Simplificando os termos:
Passo 10
Somando os dois termos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontrar a equação da reta tangente à curva C , resultante da interseç̧ão de
no ponto
.
Encontre todos os possiveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções apresentad as abaixo:
Calcular as derivadas parciais de
ordem usando a definição da função
.
Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia:
e
calcule as derivadas parciais de
relação as variáveis