Encontre todos os possiveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções apresentad as abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todos os possíveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções dadas. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com análise de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos realizando derivadas parciais e, em seguida, usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a primeira função:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para e .

Passo 5

Da equação (1):
Substituímos da equação (3) na equação (2):
Simplificando:

Passo 6

Substituindo na equação (3):
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:

Passo 8

Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 9

Agora, vamos analisar a segunda função:
Novamente, vamos procurar os pontos críticos calculando as derivadas parciais e igualando-as a zero.

Passo 10

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 11

Igualando as derivadas parciais a zero:
Vamos resolver esse sistema para e .

Passo 12

Da equação (4):
Substituímos da equação (6) na equação (5):

Passo 13

Substituindo na equação (6):
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 14

Aplicando o teste da segunda derivada para este ponto:

Passo 15

Como e , o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

Ambas as funções possuem um único mínimo local:
  1. Para , o mínimo local está em .
  2. Para , o mínimo local está em .
    Não há máximos locais ou pontos de sela para essas funções.

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