Seja . Encontrar a equação da reta tangente à curva C , resultante da interseç̧ão de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função e pede para encontrar a equação da reta tangente à curva , que é a interseção dessa superfície com o plano , no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva . Para isso, vamos intersectar a superfície com o plano . Substituindo por 3 na equação da superfície, temos:
Então, a curva é dada por e . Agora, podemos parametrizar essa curva usando como parâmetro.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Como é constante, podemos deixar variar livremente. Então, definimos:
Onde é o parâmetro que representa o valor de .
Passo 4
Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor derivada da parametrização no ponto correspondente. Derivando cada componente em relação a :