Seja . Encontrar a equação da reta tangente à curva C , resultante da interseç̧ão de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função e pede para encontrar a equação da reta tangente à curva , que é a interseção dessa superfície com o plano , no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva . Para isso, vamos intersectar a superfície com o plano . Substituindo por 3 na equação da superfície, temos:
Então, a curva é dada por e . Agora, podemos parametrizar essa curva usando como parâmetro.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Como é constante, podemos deixar variar livremente. Então, definimos:
Onde é o parâmetro que representa o valor de .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular o vetor derivada da parametrização no ponto correspondente. Derivando cada componente em relação a :
No ponto :
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente.

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:
Onde é um parâmetro real.

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Encontre todos os possiveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções apresentad as abaixo:
Calcule as integrais:
Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia: e , calcule
Calcular as derivadas parciais de ordem usando a definição da função .