Calcule as derivadas. y = e^(3 x) (cos(2 x) + x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especialmente a Regra do Produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. Também vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função. No nosso caso:
A Regra do Produto nos diz que a derivada de uma multiplicação dessas funções é:

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de . Para derivar uma função exponencial como essa, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^(k x), onde k é uma constante, é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de . A derivada de é (usando a regra da cadeia novamente), e a derivada de x é 1. Então:

Passo 5

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Para deixar a expressão mais organizada, podemos fatorar :
Simplificando dentro dos colchetes:

Resposta

A derivada de y é:

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