Calcule as integrais abaixo.
d)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral definida:
Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente ( ) e a secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar:
  1. Sabemos que .
  2. A derivada de é .
Essas identidades vão ser úteis para simplificar a expressão e fazer uma substituição que facilite a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando a primeira identidade trigonométrica:
Então, nossa integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 4

Vamos chamar . Então, a derivada de em relação a é:
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, podemos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites depois de voltar para a variável original.

Passo 6

Voltando para a variável , lembramos que . Então, substituímos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 7

Vamos calcular nos limites:
Para :
Então,
Para :
Então,

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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Calcule as integrais abaixo.
b)
Calcule as derivadas.
Calcule as integrais abaixo.
c)
Calcule as integrais abaixo.
a)