Calcule as integrais abaixo.
d) integral0^pi / 3 tg^2 theta sec ^4 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral definida:
integral0^pi / 3 tan^2 theta sec^4 theta , dtheta
Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente ( ) e a secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar:
  1. Sabemos que .
  2. A derivada de é .
Essas identidades vão ser úteis para simplificar a expressão e fazer uma substituição que facilite a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando a primeira identidade trigonométrica:
sec^2 theta = 1 + tan^2 theta implies sec^4 theta = (sec^2 theta)^2 = (1 + tan^2 theta)^2
Então, nossa integral fica:
integral0^pi / 3 tan^2 theta cdot (1 + tan^2 theta)^2 , dtheta
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 4

Vamos chamar dudtheta = sec^2 theta implies dtheta = dusec^2 theta = du1 + u^2 . Então, a derivada de integral tan^2 theta cdot (1 + tan^2 theta)^2 , dtheta = integral u^2 cdot (1 + u^2)^2 cdot du1 + u^2 = integral u^2 cdot (1 + u^2) , du em relação a integral u^2 (1 + u^2) , du = integral (u^2 + u^4) , du é:
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Então, a integral se torna:
u^33 + u^55 + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites depois de voltar para a variável original.

Passo 6

Voltando para a variável u^33 + u^55 = tan^3 theta3 + tan^5 theta5 , lembramos que [ tan^3 theta3 + tan^5 theta5 ]0^pi / 3 . Então, substituímos:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 7

Vamos calcular nos limites:
Para tan ( pi3 ) = raiz3 :
(raiz3)^33 + (raiz3)^55 = 3raiz33 + 9raiz35 = raiz3 + 9raiz35 = 5raiz35 + 9raiz35 = 14raiz35
Então,
tan(0) = 0
Para 0^33 + 0^55 = 0 + 0 = 0 :
Então,

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
14raiz35

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