Calcule as integrais abaixo.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral definida:
Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente (
) e a secante (
). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar:
-
Sabemos que
. -
A derivada de
é .
Essas identidades vão ser úteis para simplificar a expressão e fazer uma substituição que facilite a integração.
Passo 3
Vamos reescrever a integral usando a primeira identidade trigonométrica:
Então, nossa integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 4
Vamos chamar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, substituímos
na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, podemos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites depois de voltar para a variável original.
Passo 6
Voltando para a variável
, lembramos que
. Então, substituímos:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
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Calcule as integrais abaixo.
b)
b)
Calcule as derivadas.
Calcule as integrais abaixo.
c)
c)
Calcule as integrais abaixo.
a)
a)