Calcule as integrais abaixo.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Perceba que podemos colocar um em evidência:
Agora, o termo quadrático é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Da terceira equação, já sabemos que .

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração parcial:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
e)
Calcule as integrais abaixo.
d)
Calcule as integrais abaixo.
c)