Calcule as integrais abaixo.
b) integral x^2-1x^3-2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, e vamos precisar usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) . Perceba que podemos colocar um x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 em evidência:
x(x - 1)^2
Agora, o termo quadrático é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração x^2-1x(x - 1)^2 = Ax + Bx - 1 + C(x - 1)^2 como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por x^2 - 1 = A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx para eliminar os denominadores:
x^2 - 1 = A(x^2 - 2x + 1) + Bx(x - 1) + Cx
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:
x^2 - 1 = A x^2 - 2A x + A + B x^2 - B x + C x
x^2 - 1 = (A + B) x^2 + (-2A - B + C) x + A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 1 -2A - B + C = 0 A = -1
Da terceira equação, já sabemos que .

Passo 6

Substituindo -1 + B = 1 Rightarrow B = 2 na primeira equação:
-2(-1) - 2 + C = 0 Rightarrow 2 - 2 + C = 0 Rightarrow C = 0
Agora, substituindo e na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos os valores de x^2-1x(x - 1)^2 = -1x + 2x - 1 + 0(x - 1)^2 = -1x + 2x - 1 , e , podemos escrever a fração parcial:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2-1x^3-2 x^2+x , dx = integral ( -1x + 2x - 1 ) , dx
= -integral 1x , dx + 2 integral 1x - 1 , dx
= -ln|x| + 2 ln|x - 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados