Calcule as derivadas: y = 5 * e^(x) / (3 * e^(x) + 1) * (5 * e^(x) / (3 * e^(x) + 1)^(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a e na regra do quociente. Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas partes:
  • A derivada de em relação a é , porque a derivada de é ele mesmo.
  • A derivada de em relação a é . A constante 1 desaparece porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Resposta

A derivada da função é .

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