Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte função: . O que precisamos descobrir aqui é o domínio e a imagem dessa função. Basicamente, o domínio é tudo que a gente pode colocar de e sem causar problemas na função, como divisão por zero. A imagem, por sua vez, é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando variamos e . Para resolver isso, vamos analisar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste nos valores de e para os quais a função está bem definida. Olhando para , percebemos que o denominador nunca é zero. Afinal, é sempre não negativo, então é sempre pelo menos 1. Isso significa que não tem nenhuma restrição para os valores de , e pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de quando e variam livremente no domínio. Vamos reescrever a função para facilitar: . Aqui, vemos que para qualquer valor de , é pelo menos 1. Isso significa que pode ser qualquer número real, porque:
  • Se fixarmos , a função fica , então qualquer real está na imagem.
  • Se escolhermos outros valores de , ainda podemos ajustar para obter qualquer valor real desejado.
Portanto, a imagem da função é todos os números reais.

Resposta

Domínio: Todos os pares de números reais .
Imagem: Todos os números reais.

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