Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função . Esse problema está relacionado com funções e seus conjuntos de domínio e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio (todos os valores de e que fazem a função existir) e a imagem (todos os valores de que a função pode assumir).

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função inclui uma raiz quadrada, e sabemos que dentro de uma raiz quadrada, o que está dentro precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade, temos:
Isso significa que todos os pares que satisfazem essa condição pertencem ao domínio da função. Geometricamente, isso representa todos os pontos fora ou sobre o círculo de raio 1 no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função . Sabemos que uma raiz quadrada sempre resulta em um número não negativo, ou seja:

Passo 5

Para verificar se todos os valores maiores ou iguais a zero podem ser atingidos, observamos que à medida que aumenta, também aumenta sem limite. Portanto, não há um limite superior para .

Resposta

Domínio:
Imagem:

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Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(h)
Calcule as derivadas:
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Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d)