Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Esse problema está relacionado com funções e seus conjuntos de domínio e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio (todos os valores de
e
que fazem a função existir) e a imagem (todos os valores de
que a função pode assumir).
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função inclui uma raiz quadrada, e sabemos que dentro de uma raiz quadrada, o que está dentro precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade, temos:
Isso significa que todos os pares
que satisfazem essa condição pertencem ao domínio da função. Geometricamente, isso representa todos os pontos fora ou sobre o círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função
. Sabemos que uma raiz quadrada sempre resulta em um número não negativo, ou seja:
Passo 5
Para verificar se todos os valores maiores ou iguais a zero podem ser atingidos, observamos que à medida que
aumenta,
também aumenta sem limite. Portanto, não há um limite superior para
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
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Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(h)
(h)
Calcule as derivadas:
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Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d)
(d)