Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d) sumn=1^infty 3 n(n+1)(n+2)n^3 raizn

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A ideia é decidir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente o teste da série p, que é uma ferramenta útil para determinar o comportamento de séries com termos que seguem uma potência de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
an = 3n(n+1)(n+2)n^3 raizn
Vamos expandir o numerador:
3n(n+1)(n+2) = 3n(n^2 + 3n + 2) = 3n^3 + 9n^2 + 6n
Então, a expressão fica:
an = 3n^3 + 9n^2 + 6nn^3 raizn

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
an = 3n^3n^3 raizn + 9n^2n^3 raizn + 6nn^3 raizn = 3raizn + 9n raizn + 6n^2 raizn
À medida que cresce, os termos e se tornam insignificantes comparados a , então o comportamento da série é dominado por .

Passo 4

Aqui entra o teste da série p. Esse teste diz que a série converge se e diverge se .
No nosso caso, temos algo parecido com porque .

Passo 5

Como , de acordo com o teste da série p, a nossa série diverge.

Resposta

A série diverge.

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