Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A ideia é decidir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente o teste da série p, que é uma ferramenta útil para determinar o comportamento de séries com termos que seguem uma potência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
Vamos expandir o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
À medida que
cresce, os termos
e
se tornam insignificantes comparados a
, então o comportamento da série é dominado por
.
Passo 4
Aqui entra o teste da série p. Esse teste diz que a série
converge se
e diverge se
.
No nosso caso, temos algo parecido com
porque
.
Passo 5
Como
, de acordo com o teste da série p, a nossa série
diverge.
Resposta
A série
diverge.