calcule as derivads parciais. partial^2partial y partial x ln (x^2+y^2)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a partialpartial x ln(x^2 + y^2) = 1x^2 + y^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2) da função .
A derivada de em relação a é , e depois aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x em relação a . Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão anterior:
partialpartial x ln(x^2 + y^2) = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partialpartial y ( 2xx^2 + y^2 ) da expressão que acabamos de encontrar:
Aqui, usamos a regra da derivada de uma fração, que envolve a derivada do numerador e do denominador.

Passo 6

Aplicando a regra da derivada:
partialpartial y ( 2xx^2 + y^2 ) = 2x cdot partialpartial y ( 1x^2 + y^2 )
A derivada de partialpartial y ( 1x^2 + y^2 ) = -2y(x^2 + y^2)^2 em relação a é , então:

Passo 7

Substituindo de volta:
partialpartial y ( 2xx^2 + y^2 ) = 2x cdot ( -2y(x^2 + y^2)^2 ) = -4xy(x^2 + y^2)^2

Resposta

A derivada parcial de segunda ordem é:
partial^2partial y partial x ln (x^2+y^2) = -4xy(x^2 + y^2)^2

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