Verifique que e são soluções da equação da onda

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , e precisamos verificar se elas são soluções da equação da onda:
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais segunda de em relação a e , e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com . Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, comparamos as duas segundas derivadas:
Vemos que elas são iguais, então é uma solução da equação da onda.

Passo 5

Vamos repetir o processo para . Calculando a primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 6

Agora, a primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 7

Comparando novamente as segundas derivadas:
Elas são iguais, então também é uma solução da equação da onda.

Resposta

Ambas as funções e satisfazem a equação da onda , ou seja, são soluções da equação.

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