Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada
. Vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Para isso, vamos identificar as diferentes camadas da função e derivar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos chamar
e, em seguida,
. Assim, nossa função fica
. Agora, para usar a regra da cadeia, precisamos derivar cada camada uma de cada vez.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. A derivada de
é conhecida e é dada por:
Então, a primeira parte da nossa cadeia de derivação é
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
. Usando a regra do poder, temos:
Essa é a segunda parte da cadeia de derivação.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
. A constante 2 desaparece na derivada, então ficamos com:
E a derivada de
é simplesmente 2. Portanto:
Passo 6
Agora, juntamos todas as partes usando a regra da cadeia:
Substituindo o que encontramos:
Passo 7
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Simplificando
para
, temos:
Passo 8
Vamos simplificar os coeficientes:
Então:
Resposta
A derivada
é:
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Encontre as derivads parciais.
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
calcule as derivads parciais.
Verifique que
e
são soluções da equação da onda