Usando a regra da cadeia, calcule onde é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada . Vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Para isso, vamos identificar as diferentes camadas da função e derivar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos chamar e, em seguida, . Assim, nossa função fica . Agora, para usar a regra da cadeia, precisamos derivar cada camada uma de cada vez.

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . A derivada de é conhecida e é dada por:
Então, a primeira parte da nossa cadeia de derivação é .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . Usando a regra do poder, temos:
Essa é a segunda parte da cadeia de derivação.

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a . A constante 2 desaparece na derivada, então ficamos com:
E a derivada de é simplesmente 2. Portanto:

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes usando a regra da cadeia:
Substituindo o que encontramos:

Passo 7

Lembrando que e , substituímos de volta:
Simplificando para , temos:

Passo 8

Vamos simplificar os coeficientes:
Então:

Resposta

A derivada é:

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