calcule as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais segunda de
em relação a
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Em funções de duas ou mais variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável é como se a gente derivasse normalmente, mas mantendo as outras variáveis constantes. Aqui, nossa função é
, então vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
, onde
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como constante, a derivada de
em relação a
é zero. A derivada de
em relação a
é
.
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão, temos:
Passo 6
Agora que temos a primeira derivada parcial em relação a
, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a
. Ou seja, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 7
Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
. A derivada será
vezes a derivada de
em relação a
. Como
é constante, a derivada de
em relação a
é zero, e a derivada de
é
.
Então:
Passo 8
Multiplicando tudo junto, ficamos com:
Resposta
A derivada parcial segunda é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada
para a função derivável
que satisfaz cada uma das seguintes equações:
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
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Encontre a equação da reta tangente à elipse
passando pelo ponto (1,2).