calcule as derivads parciais. partial^2partial x partial y e^x^3+y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais segunda de em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Em funções de duas ou mais variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável é como se a gente derivasse normalmente, mas mantendo as outras variáveis constantes. Aqui, nossa função é , então vamos começar calculando a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Para derivar partialpartial y e^x^3+y^3 = e^x^3+y^3 cdot partialpartial y(x^3+y^3) em relação a , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a , onde .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar partialpartial y(x^3+y^3) = 3y^2 em relação a . Como é tratado como constante, a derivada de em relação a é zero. A derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão, temos:
partialpartial y e^x^3+y^3 = e^x^3+y^3 cdot 3y^2 = 3y^2 e^x^3+y^3

Passo 6

Agora que temos a primeira derivada parcial em relação a , vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a . Ou seja, precisamos derivar em relação a .

Passo 7

Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar partialpartial x(3y^2 e^x^3+y^3) = 3y^2 cdot e^x^3+y^3 cdot 3x^2 em relação a . A derivada será vezes a derivada de em relação a . Como é constante, a derivada de em relação a é zero, e a derivada de é .
Então:

Passo 8

Multiplicando tudo junto, ficamos com:
3y^2 cdot 3x^2 cdot e^x^3+y^3 = 9x^2y^2 e^x^3+y^3

Resposta

A derivada parcial segunda é:
partial^2partial x partial y e^x^3+y^3 = 9x^2y^2 e^x^3+y^3

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