Encontre a derivada d/y d/x para a função derivável y = f(x) que satisfaz cada uma das seguintes equações: x^2 * cos(y) + sen(2y) = x * y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função derivável que satisfaz a equação . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o primeiro termo . Aqui, usamos a regra do produto: se temos , a derivada é .
  • Identificando as funções:
    • (usando a regra da cadeia)
  • Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo . Aqui, usamos novamente a regra da cadeia:
  • Derivando:

Passo 5

Vamos derivar o terceiro termo usando a regra do produto:
  • Identificando as funções:
  • Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, juntamos as derivações de todos os termos na equação original:

Passo 7

Vamos organizar a equação para isolar os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 8

Fatoramos dos termos à esquerda:

Passo 9

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:

Resposta

A derivada é

Exercícios relacionados