Encontre a derivada
para a função derivável
que satisfaz cada uma das seguintes equações:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função derivável
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
dessa função. Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o primeiro termo
. Aqui, usamos a regra do produto: se temos
, a derivada é
.
-
Identificando as funções:
-
⇒ -
⇒ (usando a regra da cadeia)
-
-
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo
. Aqui, usamos novamente a regra da cadeia:
- Derivando:
Passo 5
Vamos derivar o terceiro termo
usando a regra do produto:
-
Identificando as funções:
-
⇒ -
⇒
-
-
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, juntamos as derivações de todos os termos na equação original:
Passo 7
Vamos organizar a equação para isolar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 8
Fatoramos
dos termos à esquerda:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:
Resposta
A derivada é
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