Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Isso significa calcular para .
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . Vamos derivar .
Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Vamos substituir na derivada para encontrar a inclinação da tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 432.

Passo 5

Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta para encontrar a equação da tangente:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então,
Usando novamente a forma da equação da reta com o ponto :

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta tangente:
  • Reta normal:

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