Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Isso significa calcular para .
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . Vamos derivar .
Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Vamos substituir na derivada para encontrar a inclinação da tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 432.
Passo 5
Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta para encontrar a equação da tangente:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então,
Usando novamente a forma da equação da reta com o ponto :