Encontre a equação da reta tangente à elipse
passando pelo ponto (1,2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por
que passa pelo ponto (1, 2). Nesse caso, a gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com propriedades de elipses e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de uma reta tangente a uma elipse e como garantir que essa reta passe pelo ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse é dada por
, onde
e
são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, a elipse é
, então
e
, o que significa que
e
.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta tangente a essa elipse, vamos usar a fórmula geral da reta tangente a uma elipse no ponto
:
Essa equação garante que a reta toca a elipse exatamente em um ponto, ou seja, é tangente.
Passo 4
Como a reta tangente deve passar pelo ponto (1, 2), vamos substituir esses valores na equação da reta tangente para encontrar uma relação que nos ajude a determinar os pontos de tangência
.
Substituindo, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar
com a equação da elipse. Sabemos que esses pontos estão na elipse, então eles satisfazem a equação
.
Vamos resolver o sistema de equações formado por:
Multiplicando a primeira equação por 4 para simplificar:
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação da elipse:
Expandindo
:
Simplificando as frações:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver:
Substituindo
na Equação A:
Passo 7
Agora sabemos que o ponto de tangência é
. Vamos usar a fórmula da reta tangente:
Simplificando:
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar as frações:
Resposta
A equação da reta tangente à elipse
que passa pelo ponto (1, 2) é:
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