Encontre a equação da reta tangente à elipse passando pelo ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por que passa pelo ponto (1, 2). Nesse caso, a gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente com propriedades de elipses e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de uma reta tangente a uma elipse e como garantir que essa reta passe pelo ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma elipse é dada por , onde e são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, a elipse é , então e , o que significa que e .

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente a essa elipse, vamos usar a fórmula geral da reta tangente a uma elipse no ponto :
Essa equação garante que a reta toca a elipse exatamente em um ponto, ou seja, é tangente.

Passo 4

Como a reta tangente deve passar pelo ponto (1, 2), vamos substituir esses valores na equação da reta tangente para encontrar uma relação que nos ajude a determinar os pontos de tangência .
Substituindo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar com a equação da elipse. Sabemos que esses pontos estão na elipse, então eles satisfazem a equação .
Vamos resolver o sistema de equações formado por:
Multiplicando a primeira equação por 4 para simplificar:
çã
Agora, vamos expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo na segunda equação da elipse:
Expandindo :
Simplificando as frações:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver:
Substituindo na Equação A:

Passo 7

Agora sabemos que o ponto de tangência é . Vamos usar a fórmula da reta tangente:
Simplificando:
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar as frações:

Resposta

A equação da reta tangente à elipse que passa pelo ponto (1, 2) é:

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