calcule as derivads parciais. partial^2partial x partial y x^3 y-2 x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas parciais misturadas da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a f(x, y) = x^3 y - 2 x^2 y^2 . Isso significa que vamos derivar partial fpartial y = x^3 - 4 x^2 y considerando como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra do poder: a derivada de é 1, e a derivada de é , multiplicando pelos coeficientes correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, que é a derivada da expressão que acabamos de encontrar em relação a partial fpartial y = x^3 - 4 x^2 y . Ou seja, vamos derivar partial^2 fpartial x partial y = 3x^2 - 8xy em relação a .
Temos:
Derivando em relação a :
Aqui, novamente usamos a regra do poder: a derivada de é e a derivada de em relação a é , multiplicando pelo coeficiente -4, resultando em .

Resposta

A derivada parcial misturada é:
partial^2 fpartial x partial y = 3x^2 - 8xy

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