Encontre as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que nos permite calcular a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que denotaremos por
. Para isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, já que
é o produto de duas funções que dependem de
.
Passo 3
Vamos identificar as duas funções que estamos multiplicando:
A derivada parcial de
em relação a
será:
Passo 4
Calculando
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada de
.
Passo 5
Calculando
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada parcial:
Podemos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Novamente, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 8
As duas funções são as mesmas:
A derivada parcial de
em relação a
será:
Passo 9
Calculando
:
Novamente, usamos a regra da cadeia.
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Substituindo
e
na fórmula da derivada parcial:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
Interseções com os eixos e
;
Interseções com os eixos
Considere a função
. Determine:
Domínio;
Domínio;
Encontre as derivads parciais.
calcule as derivads parciais.