Encontre as derivads parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que nos permite calcular a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que denotaremos por . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, já que é o produto de duas funções que dependem de .

Passo 3

Vamos identificar as duas funções que estamos multiplicando:
A derivada parcial de em relação a será:

Passo 4

Calculando :
Isso porque a derivada de em relação a é multiplicada pela derivada de .

Passo 5

Calculando :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da derivada parcial:
Podemos simplificar:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 8

As duas funções são as mesmas:
A derivada parcial de em relação a será:

Passo 9

Calculando :
Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Substituindo e na fórmula da derivada parcial:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Considere a função . Determine:
Domínio;
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calcule as derivads parciais.