Encontre as derivads parciais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função. Isso significa que vamos calcular como muda quando mudamos uma das variáveis ( , ou ) enquanto mantemos as outras constantes. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é útil para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas na função. Aqui, depende de três variáveis: , e . Então, vamos precisar encontrar três derivadas parciais:
  1. – a derivada parcial em relação a
  2. – a derivada parcial em relação a
  3. – a derivada parcial em relação a

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada da função cosseno é o menos seno, então:
Agora, precisamos derivar o interior em relação a :
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Derivando o interior em relação a :
Portanto, a derivada parcial fica:

Passo 5

Por fim, vamos calcular . Usamos a mesma abordagem:
Derivando o interior em relação a :
Assim, a derivada parcial é:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Considere a função . Determine:
Interseções com os eixos e ;
calcule as derivads parciais.