Encontre as derivads parciais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função. Isso significa que vamos calcular como
muda quando mudamos uma das variáveis (
,
ou
) enquanto mantemos as outras constantes. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é útil para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas na função. Aqui,
depende de três variáveis:
,
e
. Então, vamos precisar encontrar três derivadas parciais:
-
– a derivada parcial em relação a -
– a derivada parcial em relação a -
– a derivada parcial em relação a
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada da função cosseno é o menos seno, então:
Agora, precisamos derivar o interior
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Derivando o interior
em relação a
:
Portanto, a derivada parcial fica:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
. Usamos a mesma abordagem:
Derivando o interior
em relação a
:
Assim, a derivada parcial é:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Considere a função
. Determine:
Interseções com os eixos e
;
Interseções com os eixos
calcule as derivads parciais.