Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = ln((x^2 - 4) / (2x + x^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular a derivada de usando a regra da cadeia. Então, vamos precisar saber sobre derivadas de logaritmos e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação:
Perceba que pode ser fatorado como .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz :

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de é . Aplicando isso aos nossos termos:
Para :
Para :

Passo 5

Subtraindo as duas derivadas, já que nosso é a diferença dos logaritmos:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum, que seria . Mas para deixar a resposta mais simples, vamos deixar assim mesmo ou podemos fatorar mais se necessário.

Resposta

A derivada de é:

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