Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular a derivada de
usando a regra da cadeia. Então, vamos precisar saber sobre derivadas de logaritmos e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação:
Perceba que
pode ser fatorado como
.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz
:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de
é
. Aplicando isso aos nossos termos:
Para
:
Para
:
Passo 5
Subtraindo as duas derivadas, já que nosso
é a diferença dos logaritmos:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum, que seria
. Mas para deixar a resposta mais simples, vamos deixar assim mesmo ou podemos fatorar mais se necessário.
Resposta
A derivada de
é: