Considere a função
. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao seu crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada, representada por
, nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Calculando a derivada:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de mudança no comportamento da função:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
Passo 5
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
-
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: A derivada é positiva novamente, indicando que a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
.
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onde
é igual a:
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