Considere a função . Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao seu crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada, representada por , nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Calculando a derivada:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de mudança no comportamento da função:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de crescimento para decrescimento ou vice-versa.

Passo 5

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
  1. Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    A derivada é positiva novamente, indicando que a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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