calcule as derivads parciais. partial^2partial x^2 sen(x^2+x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma derivada parcial de segunda ordem. O exercício é encontrar . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, especialmente a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. Temos:
f(x, y) = sin(x^2 + x y)
Queremos encontrar a segunda derivada parcial dessa função em relação a . Ou seja, vamos calcular a derivada de novamente em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de partial fpartial x = cos(x^2 + x y) cdot partialpartial x(x^2 + x y) em relação a partialpartial x(x^2 + x y) = 2x + y . Aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de partial fpartial x = cos(x^2 + x y) cdot (2x + y) é multiplicado pela derivada de :
Agora, vamos derivar o que está dentro do seno:
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, a derivada da expressão que acabamos de encontrar em relação a partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x[cos(x^2 + x y) cdot (2x + y)] :
partialpartial x(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v'
Aqui, usamos a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções de u' = -sin(x^2 + x y) cdot partialpartial x(x^2 + x y) = -sin(x^2 + x y) cdot (2x + y) . A Regra do Produto diz que:
v' = 2
Vamos identificar:
  • partial^2 fpartial x^2 = [-sin(x^2+x y)(2x + y)] cdot (2x + y) + cos(x^2+x y) cdot 2
  • partial^2 fpartial x^2 = -sin(x^2+x y)(2x + y)^2 + 2cos(x^2+x y)
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada parcial é:
partial^2partial x^2 sin(x^2+x y) = -sin(x^2+x y)(2x + y)^2 + 2cos(x^2+x y)

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