calcule as derivads parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma derivada parcial de segunda ordem. O exercício é encontrar . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, especialmente a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. Temos:
Queremos encontrar a segunda derivada parcial dessa função em relação a . Ou seja, vamos calcular a derivada de novamente em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a . Aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de é multiplicado pela derivada de :
Agora, vamos derivar o que está dentro do seno:
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, a derivada da expressão que acabamos de encontrar em relação a :
Aqui, usamos a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções de . A Regra do Produto diz que:
Vamos identificar:
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada parcial é:

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calcule as derivads parciais.
Usando a regra da cadeia, calcule onde é igual a:
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.
Encontre a derivada para a função derivável que satisfaz cada uma das seguintes equações: