calcule as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma derivada parcial de segunda ordem. O exercício é encontrar
. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, especialmente a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. Temos:
Queremos encontrar a segunda derivada parcial dessa função em relação a
. Ou seja, vamos calcular a derivada de
novamente em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
:
Agora, vamos derivar o que está dentro do seno:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, a derivada da expressão que acabamos de encontrar em relação a
:
Aqui, usamos a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções de
. A Regra do Produto diz que:
Vamos identificar:
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
:
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada parcial é:
Exercícios relacionados
calcule as derivads parciais.
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
Encontre a derivada
para a função derivável
que satisfaz cada uma das seguintes equações: