Usando a regra da cadeia, calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = ln(tg(x / 2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma ferramenta que ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar saber derivar logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções compostas aqui. Temos o logaritmo natural , onde . Então, vamos aplicar a regra da cadeia: a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos derivar . Lembre-se que a derivada de é , onde .

Passo 4

Derivando , temos .

Passo 5

Agora, substituímos de volta na derivada de :

Passo 6

Voltando à derivada de , substituímos e :

Passo 7

Simplificando a expressão, sabemos que . Então:

Passo 8

Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a expressão:

Resposta

A derivada de é:

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