calcule as derivads parciais. partial^2partial y^2 2 arctan (yx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a . Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, mais especificamente às derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e derivadas de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partialpartial y [ 2 arctan (yx) ] = 2 cdot 11 + (yx)^2 cdot partialpartial y (yx) em relação a . A função tem uma derivada , então usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar partialpartial y (yx) = 1x em relação a . Como é uma constante em relação a :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da primeira derivada parcial:
partialpartial y [ 2 arctan (yx) ] = 2 cdot 11 + (yx)^2 cdot 1x = 2x (1 + y^2x^2) = 2x + y^2x
Simplificando:
2x + y^2x = 2xx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, derivar partialpartial y ( 2xx^2 + y^2 ) = 2x cdot partialpartial y ( 1x^2 + y^2 ) novamente em relação a partialpartial y ( 1x^2 + y^2 ) = -2y(x^2 + y^2)^2 . Usaremos a regra do quociente:
A derivada de é , então:

Passo 6

Substituindo de volta:
partial^2partial y^2 [ 2 arctan (yx) ] = 2x cdot ( -2y(x^2 + y^2)^2 ) = -4xy(x^2 + y^2)^2

Resposta

A segunda derivada parcial de partial^2partial y^2 [ 2 arctan (yx) ] = -4xy(x^2 + y^2)^2 em relação a é:

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