Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente, e um pouco de geometria para achar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso nos dá as coordenadas do ponto na curva onde queremos a tangente e a normal.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar a função .
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.

Passo 7

Usando novamente a forma ponto-inclinação com a inclinação e o ponto :
Simplificando:

Resposta

As equações das retas são:

Exercícios relacionados

calcule as derivads parciais.
Usando a regra da cadeia, calcule onde é igual a:
Encontre equações para a reta tangente à curva no ponto dado:
Calcule onde é igual a: