Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente, e um pouco de geometria para achar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso nos dá as coordenadas do ponto na curva onde queremos a tangente e a normal.
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar a função .
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Passo 7
Usando novamente a forma ponto-inclinação com a inclinação e o ponto :