Encontre equações para a reta tangente à curva no ponto dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na curva. Substituindo
e
na equação da curva:
Como
, o ponto está na curva. Agora, vamos encontrar a derivada
usando a derivada implícita.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, lembrando que
é uma função de
:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos organizar os termos para isolar
:
Fatorando
:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
para obter
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Passo 8
Simplificando a equação para deixar mais bonita:
Adicionando 1 (ou
) aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
calcule as derivads parciais.
Calcule
onde
é igual a:
Verifique que as funções
e
satisfazem a equação de Laplace