Encontre equações para a reta tangente à curva no ponto dado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar o cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na curva. Substituindo e na equação da curva:
Como , o ponto está na curva. Agora, vamos encontrar a derivada usando a derivada implícita.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de :
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos para isolar :
Fatorando :

Passo 5

Dividindo ambos os lados por para obter :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :

Passo 8

Simplificando a equação para deixar mais bonita:
Adicionando 1 (ou ) aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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