Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar sua derivada
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e também como derivar funções trigonométricas como a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra da cadeia. Podemos ver que
é a função externa
, onde
. Então, temos uma função composta: uma função ao quadrado de outra função.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
será:
Ou seja, multiplicamos 2 pelo
e pela derivada de
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
. Para isso, usamos a regra do produto, já que temos o produto de duas funções:
e
.
Passo 5
A regra do produto diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas das funções:
(Lembrando que a derivada de
é
.)
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Passo 8
Agora, retornamos à derivada de
:
Passo 9
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Intervalos de crescimento e decrescimento;
calcule as derivads parciais.
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.