calcule as derivads parciais. partial^3partial x^2 partial z x y^2 z^3+x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma derivada parcial de terceira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos derivar a função duas vezes em relação a e uma vez em relação a . A ordem das derivadas não importa aqui, mas vamos seguir a ordem indicada.

Passo 3

Vamos começar derivando a função partial fpartial x = partialpartial x (x y^2 z^3) + partialpartial x (x) + partialpartial x (2 y) + partialpartial x (3 z) em relação a partial fpartial x = y^2 z^3 + 1 + 0 + 0 = y^2 z^3 + 1 pela primeira vez. A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente a função resultante em relação a partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x (y^2 z^3 + 1) = 0 + 0 = 0 . A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, como e são consideradas constantes em relação a , as derivadas são zero.

Passo 5

Por último, vamos derivar a função resultante em relação a partial^3 fpartial x^2 partial z = partialpartial z (0) = 0 . A derivada parcial de em relação a é:

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é igual a .

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