calcule as derivads parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma derivada parcial de terceira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos derivar a função duas vezes em relação a e uma vez em relação a . A ordem das derivadas não importa aqui, mas vamos seguir a ordem indicada.

Passo 3

Vamos começar derivando a função em relação a pela primeira vez. A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente a função resultante em relação a . A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, como e são consideradas constantes em relação a , as derivadas são zero.

Passo 5

Por último, vamos derivar a função resultante em relação a . A derivada parcial de em relação a é:

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é igual a .

Exercícios relacionados

Se mostre que .
Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial .
Se for contínua em , demonstre que
Para o caso onde e , faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.
Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
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