Se mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a . A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, .

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a . Isso significa derivar novamente em relação a .
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente: .
Aqui, e . Então,
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Primeiramente, a primeira derivada parcial de em relação a é:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente, com e :
Então,

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas parciais que encontramos:

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja:

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Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial .
calcule as derivads parciais.
calcule as derivads parciais.
Se for contínua em , demonstre que
Para o caso onde e , faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.