Se z=ln (x^2+y^2) mostre que partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial zpartial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 em relação a . A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, .

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 2xx^2 + y^2 ) em relação a f' = 2 e g' = 2x . Isso significa derivar novamente partial^2 zpartial x^2 = 2(x^2 + y^2) - 2x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) - 4x^2(x^2 + y^2)^2 = -2x^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 em relação a .
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente: .
Aqui, e . Então,
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2 em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( 2yx^2 + y^2 ) . Primeiramente, a primeira derivada parcial de f' = 2 e g' = 2y em relação a partial^2 zpartial y^2 = 2(x^2 + y^2) - 2y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) - 4y^2(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 é:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente, com e :
Então,

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas parciais que encontramos:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = -2x^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 + 2x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = (-2x^2 + 2y^2) + (2x^2 - 2y^2)(x^2 + y^2)^2 = 0(x^2 + y^2)^2 = 0

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais de partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 em relação a e é igual a zero, ou seja:

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