Se
mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e cálculo diferencial.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
.
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente:
.
Aqui,
e
. Então,
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiramente, a primeira derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente, com
e
:
Então,
Passo 5
Agora, somamos as duas segundas derivadas parciais que encontramos:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero, ou seja:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
.
calcule as derivads parciais.
calcule as derivads parciais.
Se
for contínua em
, demonstre que
Para o caso onde
e
, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.