Se for contínua em , demonstre que
Para o caso onde e , faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa provar que, se a função é contínua em todo o conjunto dos números reais , então a integral de de até é igual à integral de de até . Além disso, se for sempre maior ou igual a zero e , vamos criar um diagrama para mostrar isso geometricamente como igualdade de áreas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição em integrais e entender um pouco sobre simetria de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral de de até , escrita como , representa a área sob a curva de entre os limites e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral . Queremos fazer uma mudança de variável para facilitar a comparação com . Vamos usar a substituição .
Isso significa que ou, equivalentemente, .

Passo 4

Quando fazemos a substituição , precisamos também mudar os limites de integração.
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, os limites originais de a vão para a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
Aqui, a gente substituiu por e por .

Passo 6

Agora, observamos que existe um sinal negativo na frente do . Para simplificar, podemos trocar os limites de integração e remover o sinal negativo:
Isso porque trocar os limites de integração inverte o sinal da integral.

Passo 7

Finalmente, podemos reescrever como novamente (já que é uma variável de integração, o nome não muda o resultado):
Então, provamos que:

Passo 8

Agora, para a parte geométrica, vamos imaginar o gráfico de onde e . A integral representa a área sob a curva de de a , que é uma reflexão da função em relação ao eixo . Já representa a área sob a curva de de a . Como a função foi refletida, essas duas áreas são iguais, mostrando a simetria e confirmando a igualdade das integrais.

Resposta

Então, mostramos que e, geometricamente, essas integrais representam áreas iguais sob a curva de , graças à simetria da função refletida.

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Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37.
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