Se
for contínua em
, demonstre que
Para o caso onde
e
, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa provar que, se a função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
, então a integral de
de
até
é igual à integral de
de
até
. Além disso, se
for sempre maior ou igual a zero e
, vamos criar um diagrama para mostrar isso geometricamente como igualdade de áreas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição em integrais e entender um pouco sobre simetria de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral de
de
até
, escrita como
, representa a área sob a curva de
entre os limites
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral
. Queremos fazer uma mudança de variável para facilitar a comparação com
. Vamos usar a substituição
.
Isso significa que
ou, equivalentemente,
.
Passo 4
Quando fazemos a substituição
, precisamos também mudar os limites de integração.
- Se
, então . - Se
, então .
Então, os limites originais de
a
vão para
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Aqui, a gente substituiu
por
e
por
.
Passo 6
Agora, observamos que existe um sinal negativo na frente do
. Para simplificar, podemos trocar os limites de integração e remover o sinal negativo:
Isso porque trocar os limites de integração inverte o sinal da integral.
Passo 7
Finalmente, podemos reescrever
como
novamente (já que é uma variável de integração, o nome não muda o resultado):
Então, provamos que:
Passo 8
Agora, para a parte geométrica, vamos imaginar o gráfico de
onde
e
. A integral
representa a área sob a curva de
de
a
, que é uma reflexão da função
em relação ao eixo
. Já
representa a área sob a curva de
de
a
. Como a função foi refletida, essas duas áreas são iguais, mostrando a simetria e confirmando a igualdade das integrais.
Resposta
Então, mostramos que
e, geometricamente, essas integrais representam áreas iguais sob a curva de
, graças à simetria da função refletida.
Exercícios relacionados
calcule as derivads parciais.
Se
mostre que
.
Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37.
37.
Mostre que
satisfaz a equação do calor