Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial . Isso está no campo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , multiplicar cada uma por sua respectiva variável e somar tudo para ver se dá .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos:
Derivando termo a termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
  1. Derivada de em relação a :
(Porque a derivada de em relação a é ).
  1. Derivada de em relação a :
(A derivada de em relação a é ).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
(Utilizamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde ).
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
  1. Derivada de em relação a :
(A regra da cadeia aplicada à exponencial).
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
(A regra da cadeia: derivada de é , onde ).
  1. Derivada de em relação a :
(A derivada de é ).
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a equação diferencial dada:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos simplificar cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Ficando assim:
Podemos fatorar o 2:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial parcial .

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calcule as derivads parciais.
Mostre que é solução da equação diferencial .
Se mostre que .
calcule as derivads parciais.