Verifique se a função f(x, y, z)=x^2 sin (yz)+y^2 ln (zx)+z^2 e^x / y é uma solução da equação diferencial parcial x partial fpartial x+y partial fpartial y+z partial fpartial z=2 f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial . Isso está no campo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , multiplicar cada uma por sua respectiva variável e somar tudo para ver se dá .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y, z) = x^2 sin(yz) + y^2 ln(zx) + z^2 e^xy em relação a 2x sin(yz) , ou seja, y^2 cdot ( -1x ) = -y^2x .
Temos:
z^2 cdot 1y e^xy = z^2y e^xy
Derivando termo a termo em relação a partial fpartial x = 2x sin(yz) - y^2x + z^2y e^xy :
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
  1. Derivada de em relação a :
(Porque a derivada de em relação a é ).
  1. Derivada de em relação a :
(A derivada de em relação a é ).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de x^2 cdot 1z cos(yz) = x^2z cos(yz) em relação a 2y ln(zx) , ou seja, z^2 cdot e^xy cdot ( -xy^2 ) = -z^2xy^2 e^xy .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de partial fpartial y = x^2z cos(yz) + 2y ln(zx) - z^2xy^2 e^xy em relação a :
(Utilizamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde ).
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
  1. Derivada de em relação a :
(A regra da cadeia aplicada à exponencial).
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de x^2 cdot cos(yz) cdot ( -yz^2 ) = -x^2 yz^2 cos(yz) em relação a y^2 cdot 1z = y^2z , ou seja, 2z e^xy .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de partial fpartial z = -x^2 yz^2 cos(yz) + y^2z + 2z e^xy em relação a :
(A regra da cadeia: derivada de é , onde ).
  1. Derivada de em relação a :
(A derivada de é ).
  1. Derivada de em relação a :
(O termo é constante em relação a ).
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a equação diferencial dada:
x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z
Substituindo as derivadas que calculamos:
x ( 2x sin(yz) - y^2x + z^2y e^xy ) + y ( x^2z cos(yz) + 2y ln(zx) - z^2xy^2 e^xy ) + z ( -x^2 yz^2 cos(yz) + y^2z + 2z e^xy )
Vamos simplificar cada termo:
  1. 2x^2 sin(yz) - y^2 + x z^2y e^xy + x^2 yz cos(yz) + 2y^2 ln(zx) - z^2xy e^xy - x^2 yz cos(yz) + y^2 + 2z^2 e^xy
  2. 2x^2 sin(yz) + 2y^2 ln(zx) + 2z^2 e^xy
  3. 2 ( x^2 sin(yz) + y^2 ln(zx) + z^2 e^xy ) = 2f(x, y, z)
Agora, somando todos os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Ficando assim:
Podemos fatorar o 2:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial parcial .

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