Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial
. Isso está no campo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, multiplicar cada uma por sua respectiva variável e somar tudo para ver se dá
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
(O termo
é constante em relação a
).
- Derivada de
em relação a :
(Porque a derivada de
em relação a
é
).
- Derivada de
em relação a :
(A derivada de
em relação a
é
).
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
(Utilizamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
).
- Derivada de
em relação a :
(O termo
é constante em relação a
).
- Derivada de
em relação a :
(A regra da cadeia aplicada à exponencial).
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
(A regra da cadeia: derivada de
é
, onde
).
- Derivada de
em relação a :
(A derivada de
é
).
- Derivada de
em relação a :
(O termo
é constante em relação a
).
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a equação diferencial dada:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos simplificar cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Ficando assim:
Podemos fatorar o 2:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação diferencial parcial
.
Exercícios relacionados
calcule as derivads parciais.
Mostre que
é solução da equação diferencial
.
Se
mostre que
.
calcule as derivads parciais.