Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a primitiva mais geral da função
para
e também que
. Isso significa que vamos integrar
para achar
. Para isso, vamos precisar usar as regras de integração básicas e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar cada termo de
separadamente. A função é composta por dois termos:
e
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro termo,
. A regra básica de integração para potências de
diz que:
Aplicando isso ao nosso termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo,
. Sabemos que:
Como
, podemos simplificar para
. Então:
Passo 5
Juntando as integrações dos dois termos, temos a primitiva geral de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A primitiva mais geral da função é:
Exercícios relacionados
Se
for contínua em
, demonstre que
Para o caso onde
e
, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.
calcule as derivads parciais.
Mostre que
satisfaz a equação do calor
Calcule
pela definição.