Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37. f'(x) = 8x^3 + 1/x, x > 0, f(1) = -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a primitiva mais geral da função para e também que . Isso significa que vamos integrar para achar . Para isso, vamos precisar usar as regras de integração básicas e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo de separadamente. A função é composta por dois termos: e .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo, . A regra básica de integração para potências de diz que:
Aplicando isso ao nosso termo:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo, . Sabemos que:
Como , podemos simplificar para . Então:

Passo 5

Juntando as integrações dos dois termos, temos a primitiva geral de :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

A primitiva mais geral da função é:

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