calcule as derivads parciais. partial^3partial z partial y partial x e^x y z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular as derivadas parciais de terceira ordem da função em relação a , e . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais envolvendo várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a primeira derivada parcial em relação a partialpartial x e^x y z = e^x y z cdot partialpartial x(x y z) . A função que temos é partialpartial x(x y z) = y z . Quando derivamos uma função exponencial, a derivada da partialpartial x e^x y z = y z cdot e^x y z em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então:
Agora, derivando em relação a :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a partialpartial y (y z cdot e^x y z) = partialpartial y(y z) cdot e^x y z + y z cdot partialpartial y e^x y z . Temos partialpartial y(y z) = z . Aqui, usamos a regra do produto, pois temos um produto de duas funções: partialpartial y e^x y z = x z cdot e^x y z e partialpartial y (y z cdot e^x y z) = z cdot e^x y z + y z cdot x z cdot e^x y z .
Aplicando a regra do produto:
= z cdot e^x y z + x y z^2 cdot e^x y z
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer a última derivada em relação a partialpartial z (z cdot e^x y z) = partialpartial z(z) cdot e^x y z + z cdot partialpartial z e^x y z . Temos partialpartial z(z) = 1 . Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo: partialpartial z e^x y z = x y cdot e^x y z
Usamos a regra do produto novamente:
partialpartial z (z cdot e^x y z) = e^x y z + x y z cdot e^x y z
Derivando partialpartial z (x y z^2 cdot e^x y z) = partialpartial z(x y z^2) cdot e^x y z + x y z^2 cdot partialpartial z e^x y z em relação a partialpartial z(x y z^2) = 2 x y z :
partialpartial z e^x y z = x y cdot e^x y z
E derivando partialpartial z (x y z^2 cdot e^x y z) = 2 x y z cdot e^x y z + x y z^2 cdot x y cdot e^x y z em relação a = 2 x y z cdot e^x y z + x^2 y^2 z^2 cdot e^x y z :
Então:
Segundo termo:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Então:
Simplificando:

Resposta

Juntando tudo, a derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3partial z partial y partial x e^x y z = e^x y z ( 1 + x y z + 2 x y z + x^2 y^2 z^2 )
Ou simplificando:
partial^3partial z partial y partial x e^x y z = e^x y z ( 1 + 3 x y z + x^2 y^2 z^2 )

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