calcule as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular as derivadas parciais de terceira ordem da função
em relação a
,
e
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais envolvendo várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a primeira derivada parcial em relação a
. A função que temos é
. Quando derivamos uma função exponencial, a derivada da
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Então:
Agora, derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a
. Temos
. Aqui, usamos a regra do produto, pois temos um produto de duas funções:
e
.
Aplicando a regra do produto:
Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer a última derivada em relação a
. Temos
. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Usamos a regra do produto novamente:
Usamos a regra do produto novamente:
Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Então:
Segundo termo:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Então:
Simplificando:
Resposta
Juntando tudo, a derivada parcial de terceira ordem é:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
Mostre que
é solução da equação diferencial
.
Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
.
Se
mostre que
.