calcule as derivads parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular as derivadas parciais de terceira ordem da função em relação a , e . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais envolvendo várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a primeira derivada parcial em relação a . A função que temos é . Quando derivamos uma função exponencial, a derivada da em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Então:
Agora, derivando em relação a :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a . Temos . Aqui, usamos a regra do produto, pois temos um produto de duas funções: e .
Aplicando a regra do produto:
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer a última derivada em relação a . Temos . Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Usamos a regra do produto novamente:
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Então:
Segundo termo:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Então:
Simplificando:

Resposta

Juntando tudo, a derivada parcial de terceira ordem é:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados

Mostre que é solução da equação diferencial .
Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial .
Se mostre que .