Mostre que z=sin (xy)+ln (yx) é solução da equação diferencial y partial zpartial y+x partial zpartial x=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos mostrar que ela é solução da equação diferencial .
Matéria envolvida: Equações diferenciais parciais, derivadas parciais.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a e , multiplicá-las pelos coeficientes dados na equação diferencial e verificar se a soma é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z = sin(xy) + ln(yx) em relação a partialpartial x sin(xy) = cos(xy) cdot 1y , denotada por partialpartial x ln(yx) = 1yx cdot (-yx^2) = -1x .
Temos:
partial zpartial x = cos(xy)y - 1x
Derivando termo a termo:
  1. Para :
  1. Para :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial y sin(xy) = cos(xy) cdot (-xy^2) = -x cos(xy)y^2 em relação a partialpartial y ln(yx) = 1yx cdot 1x = 1y , denotada por partial zpartial y = -x cos(xy)y^2 + 1y .
Derivando termo a termo:
  1. Para :
  1. Para :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos y partial zpartial y + x partial zpartial x = 0 e y ( -x cos(xy)y^2 + 1y ) + x ( cos(xy)y - 1x ) = 0 , vamos substituir na equação diferencial dada:
y cdot ( -x cos(xy)y^2 ) = -x cos(xy)y
Substituindo:
y cdot 1y = 1
Vamos simplificar cada termo:
  1. Multiplicando -x cos(xy)y + 1 com x cdot cos(xy)y = x cos(xy)y :
x cdot ( -1x ) = -1
x cos(xy)y - 1
Portanto:
  1. Multiplicando com :
Portanto:

Passo 5

Agora, somando os dois resultados:
( -x cos(xy)y + 1 ) + ( x cos(xy)y - 1 ) = 0
Observamos que:
-x cos(xy)y + x cos(xy)y = 0
1 - 1 = 0
Portanto, a soma total é , o que satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim, é solução da equação diferencial .

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