Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a usando a regra da cadeia. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a diferenciação. Sabemos que , então podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, usando uma propriedade dos logaritmos, sabemos que . Aplicando isso à nossa função:
Isso simplifica a nossa função para algo mais manejável.

Passo 4

Vamos chamar o que está dentro do logaritmo de , ou seja:
Assim, nossa função fica:

Passo 5

Para encontrar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a será:
E similarmente para :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar e .
Primeiro, para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltando às derivadas parciais de :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Encontre as primitivas gerais das funções dadas.
Mostre que é solução da equação diferencial .
calcule as derivads parciais.