Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
usando a regra da cadeia. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a diferenciação. Sabemos que
, então podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, usando uma propriedade dos logaritmos, sabemos que
. Aplicando isso à nossa função:
Isso simplifica a nossa função para algo mais manejável.
Passo 4
Vamos chamar o que está dentro do logaritmo de
, ou seja:
Assim, nossa função fica:
Passo 5
Para encontrar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
será:
E similarmente para
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltando às derivadas parciais de
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
Encontre as primitivas gerais das funções dadas.
Mostre que
é solução da equação diferencial
.
calcule as derivads parciais.