Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar quais dos conjuntos listados são subespaços de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto).
É fechado sob multiplicação escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto).
Vamos analisar cada opção seguindo essas regras.
Passo 2
Opção (a): todos os vetores da forma
Primeiro, verificamos se o vetor zero está nesse conjunto. Se , temos , que está no conjunto. Agora, vamos ver se ele é fechado sob adição e multiplicação escalar.
Adição:, que também está na forma .
Multiplicação escalar:, que também está na forma .
Como todas as condições são satisfeitas, esse conjunto é um subespaço.
Passo 3
Opção (b): todos os vetores da forma
Vamos começar verificando se o vetor zero está nesse conjunto. Para que , precisaríamos que e também que , o que é impossível. Então, já falhamos na primeira condição. Portanto, esse conjunto não é um subespaço.
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto. Se e , então , então está no conjunto.
Agora, verificamos a adição:
Se e estão no conjunto, então e . A soma é . Vamos ver se . De fato, , então está fechado sob adição.
Para a multiplicação escalar, se temos . Como , então , que satisfaz . Portanto, também está fechado sob multiplicação escalar.
Então, esse conjunto é um subespaço.
Passo 5
Opção (d): todos os vetores da forma com
Primeiro, verificamos se o vetor zero está no conjunto. Para , precisaríamos que , o que não é verdade. Portanto, já não satisfaz a primeira condição. Esse conjunto não é um subespaço.