Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
?
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma (
)
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
(a) todos os vetores da forma
(b) todos os vetores da forma (
© todos os vetores da forma
(d) todos os vetores da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar quais dos conjuntos listados são subespaços de
. Para isso, precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto).
- É fechado sob multiplicação escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto).
Vamos analisar cada opção seguindo essas regras.
Passo 2
Opção (a): todos os vetores da forma
Primeiro, verificamos se o vetor zero está nesse conjunto. Se
, temos
, que está no conjunto. Agora, vamos ver se ele é fechado sob adição e multiplicação escalar.
- Adição:
, que também está na forma . - Multiplicação escalar:
, que também está na forma .
Como todas as condições são satisfeitas, esse conjunto é um subespaço.
Passo 3
Opção (b): todos os vetores da forma
Vamos começar verificando se o vetor zero está nesse conjunto. Para que
, precisaríamos que
e também que
, o que é impossível. Então, já falhamos na primeira condição. Portanto, esse conjunto não é um subespaço.
Passo 4
Opção ©: todos os vetores da forma
com
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto. Se
e
, então
, então
está no conjunto.
Agora, verificamos a adição:
Se e
estão no conjunto, então
e
. A soma é
. Vamos ver se
. De fato,
, então está fechado sob adição.
Se
Para a multiplicação escalar, se temos
. Como
, então
, que satisfaz
. Portanto, também está fechado sob multiplicação escalar.
Então, esse conjunto é um subespaço.
Passo 5
Opção (d): todos os vetores da forma
com
Primeiro, verificamos se o vetor zero está no conjunto. Para
, precisaríamos que
, o que não é verdade. Portanto, já não satisfaz a primeira condição. Esse conjunto não é um subespaço.
Resposta
Os conjuntos (a) e © são subespaços de
.