Então, a gente tem que calcular o determinante de uma matriz 4x4 assim:
a & b & c & d -a & b & e & f -a & -b & c & h -a & -b & -c & d
Vamos usar o conteúdo de determinantes e operações com matrizes para resolver isso. Precisamos lembrar das propriedades dos determinantes e como simplificar a matriz para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que as primeiras colunas têm muitos termos semelhantes. Vamos tentar simplificar a matriz fazendo algumas operações nas linhas para deixar mais fácil calcular o determinante. Por exemplo, podemos somar a primeira linha com as outras linhas para eliminar alguns termos.
Passo 3
Vamos somar a primeira linha com a segunda, terceira e quarta linhas:
Linha 2: (-a) + a = 0, b + b = 2b, e + c, f + d
Linha 3: (-a) + a = 0, -b + b = 0, c + c = 2c, h + d
Linha 4: (-a) + a = 0, -b + b = 0, -c + c = 0, d + d = 2d
A matriz fica assim:
a & b & c & d 0 & 2b & e + c & f + d 0 & 0 & 2c & h + d 0 & 0 & 0 & 2d
Passo 4
Agora, a matriz está em forma triangular (toda abaixo da diagonal principal é zero). Para calcular o determinante de uma matriz triangular, basta multiplicar os elementos da diagonal principal.
Então, o determinante é:
a times 2b times 2c times 2d = a cdot 2b cdot 2c cdot 2d = 8abcd