Seja T: R^3 R^3 uma transformaçāo linear dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z). T é injetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(z, x-y,-z) é injetora. Estamos no campo da Álgebra Linear, e para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, injetividade e o núcleo de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação linear T é injetora se apenas o vetor zero do espaço de partida é mapeado para o vetor zero do espaço de chegada. Ou seja, se T(x, y, z) = (0, 0, 0) implica que x = y = z = 0, então T é injetora.

Passo 3

Para verificar se T é injetora, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação T(x, y, z) = (0, 0, 0). Vamos igualar cada componente:
z = 0 x - y = 0 - z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação, temos z = 0.
  2. Da segunda equação, x - y = 0 implica que x = y.
  3. Da terceira equação, -z = 0 também dá z = 0 (já sabemos disso).

Passo 5

Então, qualquer vetor que satisfaz T(x, y, z) = (0, 0, 0) deve ter a forma (x, x, 0), onde x pode ser qualquer número real. Isso significa que o núcleo de T (conjunto de todos os vetores que são mapeados para zero) é infinito, já que existem infinitos valores para x.

Passo 6

Como o núcleo de T contém mais vetores além do vetor zero, concluímos que T não é injetora. Para ser injetora, só o vetor zero deveria satisfazer T(x, y, z) = (0, 0, 0), mas aqui temos uma infinidade de vetores que fazem isso.

Resposta

Não, T não é injetora porque existem infinitos vetores diferentes de zero que são mapeados para (0, 0, 0).

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Provar que:
det(ccc a^2 & (a+2)^2 & (a+4)^2 (a+2)^2 & (a+4)^2 & (a+6)^2 (a+4)^2 & (a+6)^2 & (a+8)^2 )=-2^9
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(a) com inclinação m=4 passando pela origem