Seja uma transformaçāo linear dada por . é injetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a transformação linear definida por é injetora. Estamos no campo da Álgebra Linear, e para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, injetividade e o núcleo de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação linear é injetora se apenas o vetor zero do espaço de partida é mapeado para o vetor zero do espaço de chegada. Ou seja, se implica que , então é injetora.
Passo 3
Para verificar se é injetora, precisamos encontrar todos os vetores que satisfazem a equação . Vamos igualar cada componente:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos z = 0.
Da segunda equação, x - y = 0 implica que x = y.
Da terceira equação, -z = 0 também dá z = 0 (já sabemos disso).
Passo 5
Então, qualquer vetor que satisfaz T(x, y, z) = (0, 0, 0) deve ter a forma (x, x, 0), onde x pode ser qualquer número real. Isso significa que o núcleo de T (conjunto de todos os vetores que são mapeados para zero) é infinito, já que existem infinitos valores para x.
Passo 6
Como o núcleo de T contém mais vetores além do vetor zero, concluímos que Tnão é injetora. Para ser injetora, só o vetor zero deveria satisfazer T(x, y, z) = (0, 0, 0), mas aqui temos uma infinidade de vetores que fazem isso.
Resposta
Não, T não é injetora porque existem infinitos vetores diferentes de zero que são mapeados para (0, 0, 0).