Usando propriedades do determinante, calcule
det(cccc lambda & lambda & lambda & lambda lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 lambda & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 lambda & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 envolvendo lambda. Estamos trabalhando com determinantes, que é um conceito da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos determinantes, como a de liinaridade e a de que trocar duas linhas muda o sinal do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz dada:
lambda & lambda & lambda & lambda lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 lambda & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 lambda & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5
Perceba que todas as linhas começam com lambda. Uma boa estratégia é simplificar a matriz subtraindo a primeira linha das demais, o que não altera o determinante.

Passo 3

Vamos subtrair a primeira linha das linhas 2, 3 e 4:
Linha 2 - Linha 1:
(lambda - lambda, (lambda+1) - lambda, (lambda+2) - lambda, (lambda+3) - lambda) = (0, 1, 2, 3)
Linha 3 - Linha 1:
(lambda - lambda, (lambda+2) - lambda, (lambda+3) - lambda, (lambda+4) - lambda) = (0, 2, 3, 4)
Linha 4 - Linha 1:
(lambda - lambda, (lambda+3) - lambda, (lambda+4) - lambda, (lambda+5) - lambda) = (0, 3, 4, 5)
Então, a matriz fica:
lambda & lambda & lambda & lambda 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 & 4 0 & 3 & 4 & 5

Passo 4

Agora, vamos expandir o determinante pela primeira coluna, que tem três zeros. Isso facilita muito o cálculo, pois o determinante será igual a lambda vezes o determinante da matriz 3x3 que sobra:
lambda cdot 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz 3x3:
1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5
Usamos a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos pela regra de Sarrus:
1 cdot 3 cdot 5 + 2 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 4 - 3 cdot 3 cdot 3 - 2 cdot 4 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 4
Calculando:
(15) + (24) + (24) - (27) - (8) - (8) = 15 + 24 + 24 - 27 - 8 - 8 = 20

Passo 6

Agora, substituímos de volta:
lambda cdot 20 = 20lambda

Resposta

O determinante da matriz é 20,lambda.

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