Calcule , onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz quadrada 4x4. O determinante é uma propriedade importante das matrizes que, entre outras coisas, nos ajuda a entender se uma matriz é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes maiores, usando a expansão de cofatores ou operações que simplificam a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 4x4. Uma maneira prática é simplificar a matriz usando operações de linha para torná-la triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), já que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Para isso, vamos usar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Primeiro, observamos que o elemento (3,1) é 3. Podemos zerar isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira linha.

Passo 4

Realizando a operação:
Agora, o elemento (4,1) é 4. Vamos zerar isso subtraindo 4 vezes a primeira linha da quarta linha.

Passo 5

Realizando a operação:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento (3,2) é 6. Para zerá-lo, vamos subtrair 3 vezes a segunda linha da terceira linha.
Em seguida, o elemento (4,2) é 9. Vamos zerá-lo subtraindo 4,5 vezes a segunda linha da quarta linha.

Passo 7

Realizando a operação:

Passo 8

Agora, focando na terceira coluna. O elemento (4,3) é 16. Para torná-lo zero, subtrairemos vezes a terceira linha da quarta linha.

Passo 9

Agora que a matriz está triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz é .

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Determine e , tal que:
Prove que: a)
Dados e , resolva o sistema: