Prove que: a) |cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & r & r^2 & r^3 1 & r^2 & r^3 & r^4 1 & r^3 & r^4 & r^5|=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um determinante de uma matriz e precisamos provar que o seu valor é zero. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de determinantes e propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes que nos ajudam a simplificar a matriz.

Passo 2

Vamos observar a matriz dada:
1 & 1 & 1 & 1 1 & r & r^2 & r^3 1 & r^2 & r^3 & r^4 1 & r^3 & r^4 & r^5
Note que a primeira coluna é composta apenas de 1s. Isso sugere que podemos realizar operações nas colunas para simplificar o determinante.

Passo 3

Uma propriedade útil dos determinantes é que se subtrairmos uma coluna de outra, o valor do determinante não muda. Vamos aplicar isso nas colunas 2, 3 e 4, subtraindo a primeira coluna delas.
Nova matriz após as subtrações:
1 & 0 & 0 & 0 1 & r-1 & r^2-1 & r^3-1 1 & r^2-1 & r^3-1 & r^4-1 1 & r^3-1 & r^4-1 & r^5-1

Passo 4

Agora, observamos que a primeira linha tem apenas um 1 e zeros nas outras posições. Isso facilita o cálculo do determinante, pois podemos expandi-lo pela primeira linha. O determinante será igual a 1 vezes o determinante da submatriz que sobra, que é uma matriz r-1 & r^2-1 & r^3-1 r^2-1 & r^3-1 & r^4-1 r^3-1 & r^4-1 & r^5-1 :

Passo 5

Vamos analisar agora essa matriz r^n - 1 = (r - 1)(1 + r + r^2 + dots + r^n-1) . Perceba que cada elemento pode ser fatorado usando a diferença de potências:
(r-1) times 1 & 1 + r & 1 + r + r^2 1 + r & 1 + r + r^2 & 1 + r + r^2 + r^3 1 + r + r^2 & 1 + r + r^2 + r^3 & 1 + r + r^2 + r^3 + r^4
Aplicando isso em cada elemento, podemos fatorar de cada coluna:

Passo 6

Fatorando (r - 1)^3 times 1 & 1 + r & 1 + r + r^2 1 + r & 1 + r + r^2 & 1 + r + r^2 + r^3 1 + r + r^2 & 1 + r + r^2 + r^3 & 1 + r + r^2 + r^3 + r^4 de cada coluna, extraímos esse fator comum do determinante:

Passo 7

Observamos que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Isso significa que as colunas não são linearesmente independentes, o que faz com que o determinante dessa matriz seja zero.

Passo 8

Como o determinante da submatriz é zero, todo o determinante original também será zero:
|cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & r & r^2 & r^3 1 & r^2 & r^3 & r^4 1 & r^3 & r^4 & r^5 | = 0

Resposta

O determinante da matriz dada é igual a zero.

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