Dados e , resolva o sistema:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema com matrizes. Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes e :
E queremos encontrar as matrizes e que satisfazem o seguinte sistema:
Para resolver isso, vamos tratar e como matrizes desconhecidas e usar a teoria de sistemas lineares para encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os lados direitos das equações. Vamos calcular e .
Calculando :
Calculando :
Agora, :
Agora, calculando :

Passo 3

Agora, reescrevemos o sistema com os valores calculados:
Vamos considerar e como matrizes 2x2 com entradas desconhecidas:
Então, substituindo na primeira equação:
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
E da segunda equação:
Isso também nos dá quatro equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de oito equações com oito incógnitas. Vamos resolver essas equações para encontrar .
Vamos resolver par a par.
Primeira equação e quinta equação:
Multiplicamos a equação (1) por 2:
Subtraindo a equação (5) da equação (1a):
Substituindo na equação (5):

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação e sexta equação:
Multiplicamos a equação (2) por 2:
Subtraindo a equação (6) da equação (2a):
Substituindo na equação (6):

Passo 6

Agora, a terceira equação e a sétima equação:
Multiplicamos a equação (3) por 2:
Subtraindo a equação (7) da equação (3a):
Substituindo na equação (7):

Passo 7

Finalmente, a quarta equação e a oitava equação:
Multiplicamos a equação (4) por 2:
Subtraindo a equação (8) da equação (4a):
Substituindo na equação (8):

Resposta

As matrizes que resolvem o sistema são:

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Prove que: a)
Calcule , onde:
Assinale V ou F. Justifique sua resposta.
( ) Duas matrizes nulas são sempre iguais.
Dadas as matrizes , e , calcule: