Dados A=[ll2 & 0 0 & 4] e B=[ll6 & -2 2 & -6], resolva o sistema: cX-2 Y=3 A-2 B 2 X+Y=A+B

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema com matrizes. Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes A = 2 & 0 0 & 4 , B = 6 & -2 2 & -6 e X - 2Y = 3A - 2B 2X + Y = A + B :
E queremos encontrar as matrizes e que satisfazem o seguinte sistema:
Para resolver isso, vamos tratar e como matrizes desconhecidas e usar a teoria de sistemas lineares para encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os lados direitos das equações. Vamos calcular 3A = 3 times 2 & 0 0 & 4 = 6 & 0 0 & 12 e 2B = 2 times 6 & -2 2 & -6 = 12 & -4 4 & -12 .
Calculando 3A - 2B = 6 & 0 0 & 12 - 12 & -4 4 & -12 = 6-12 & 0-(-4) 0-4 & 12-(-12) = -6 & 4 -4 & 24 :
A + B = 2 & 0 0 & 4 + 6 & -2 2 & -6 = 2+6 & 0+(-2) 0+2 & 4+(-6) = 8 & -2 2 & -2
Calculando :
Agora, :
Agora, calculando :

Passo 3

Agora, reescrevemos o sistema com os valores calculados:
X - 2Y = -6 & 4 -4 & 24 2X + Y = 8 & -2 2 & -2
Vamos considerar X = x11 & x12 x21 & x22 , Y = y11 & y12 y21 & y22 e x11 & x12 x21 & x22 - 2 y11 & y12 y21 & y22 = -6 & 4 -4 & 24 como matrizes 2x2 com entradas desconhecidas:
x11 - 2y11 = -6 x12 - 2y12 = 4 x21 - 2y21 = -4 x22 - 2y22 = 24
Então, substituindo na primeira equação:
2 x11 & x12 x21 & x22 + y11 & y12 y21 & y22 = 8 & -2 2 & -2
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
2x11 + y11 = 8 2x12 + y12 = -2 2x21 + y21 = 2 2x22 + y22 = -2
E da segunda equação:
Isso também nos dá quatro equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de oito equações com oito incógnitas. Vamos resolver essas equações para encontrar x11 - 2y11 = -6 (1) 2x11 + y11 = 8 (5) .
Vamos resolver par a par.
Primeira equação e quinta equação:
2x11 - 4y11 = -12 (1a)
Multiplicamos a equação (1) por 2:
(2x11 - 4y11) - (2x11 + y11) = -12 - 8
Subtraindo a equação (5) da equação (1a):
-5y11 = -20 implies y11 = 4
2x11 + 4 = 8 implies 2x11 = 4 implies x11 = 2
Substituindo na equação (5):

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação e sexta equação:
x12 - 2y12 = 4 (2) 2x12 + y12 = -2 (6)
Multiplicamos a equação (2) por 2:
2x12 - 4y12 = 8 (2a)
Subtraindo a equação (6) da equação (2a):
(2x12 - 4y12) - (2x12 + y12) = 8 - (-2)
-5y12 = 10 implies y12 = -2
Substituindo 2x12 + (-2) = -2 implies 2x12 = 0 implies x12 = 0 na equação (6):

Passo 6

Agora, a terceira equação e a sétima equação:
x21 - 2y21 = -4 (3) 2x21 + y21 = 2 (7)
Multiplicamos a equação (3) por 2:
2x21 - 4y21 = -8 (3a)
Subtraindo a equação (7) da equação (3a):
(2x21 - 4y21) - (2x21 + y21) = -8 - 2
-5y21 = -10 implies y21 = 2
Substituindo 2x21 + 2 = 2 implies 2x21 = 0 implies x21 = 0 na equação (7):

Passo 7

Finalmente, a quarta equação e a oitava equação:
x22 - 2y22 = 24 (4) 2x22 + y22 = -2 (8)
Multiplicamos a equação (4) por 2:
2x22 - 4y22 = 48 (4a)
Subtraindo a equação (8) da equação (4a):
(2x22 - 4y22) - (2x22 + y22) = 48 - (-2)
-5y22 = 50 implies y22 = -10
Substituindo 2x22 + (-10) = -2 implies 2x22 = 8 implies x22 = 4 na equação (8):

Resposta

As matrizes que resolvem o sistema são:
X = 2 & 0 0 & 4 , Y = 4 & -2 2 & -10

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