Dados
e
, resolva o sistema:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse sistema com matrizes. Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes
e
:
E queremos encontrar as matrizes
e
que satisfazem o seguinte sistema:
Para resolver isso, vamos tratar
e
como matrizes desconhecidas e usar a teoria de sistemas lineares para encontrá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os lados direitos das equações. Vamos calcular
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Agora,
:
Agora, calculando
:
Passo 3
Agora, reescrevemos o sistema com os valores calculados:
Vamos considerar
X = x11 & x12 x21 & x22 , Y = y11 & y12 y21 & y22 e
x11 & x12 x21 & x22 - 2 y11 & y12 y21 & y22 = -6 & 4 -4 & 24 como matrizes 2x2 com entradas desconhecidas:
Então, substituindo na primeira equação:
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
E da segunda equação:
Isso também nos dá quatro equações:
Passo 4
Agora, temos um sistema de oito equações com oito incógnitas. Vamos resolver essas equações para encontrar
x11 - 2y11 = -6 (1) 2x11 + y11 = 8 (5) .
Vamos resolver par a par.
Primeira equação e quinta equação:
Multiplicamos a equação (1) por 2:
Subtraindo a equação (5) da equação (1a):
Substituindo
na equação (5):
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação e sexta equação:
Multiplicamos a equação (2) por 2:
Subtraindo a equação (6) da equação (2a):
Substituindo
2x12 + (-2) = -2 implies 2x12 = 0 implies x12 = 0 na equação (6):
Passo 6
Agora, a terceira equação e a sétima equação:
Multiplicamos a equação (3) por 2:
Subtraindo a equação (7) da equação (3a):
Substituindo
2x21 + 2 = 2 implies 2x21 = 0 implies x21 = 0 na equação (7):
Passo 7
Finalmente, a quarta equação e a oitava equação:
Multiplicamos a equação (4) por 2:
Subtraindo a equação (8) da equação (4a):
Substituindo
2x22 + (-10) = -2 implies 2x22 = 8 implies x22 = 4 na equação (8):
Resposta
As matrizes que resolvem o sistema são: