Beleza, vamos calcular o determinante da matriz , que é uma matriz 4x4 com componentes que incluem números imaginários (o ). Para isso, vamos usar a regra de expansão por cofatores, que nos ajuda a calcular determinantes de matrizes maiores. Vamos precisar lembrar como aplicar cofatores e como lidar com números complexos durante os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna. Vou escolher expandir pela primeira linha para facilitar os cálculos, já que ela tem elementos variados que nos permitirão ver bem cada passo.
Passo 3
A regra de expansão por cofatores diz que:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada cofator removendo a linha e a coluna do elemento correspondente e calculando o determinante da matriz 3x3 que sobra.
Primeiro, :
Calculando esse determinante:
Passo 5
Agora, :
Calculando esse determinante:
Passo 6
Em seguida, :
Calculando esse determinante:
Passo 7
Por último, :
Calculando esse determinante:
Passo 8
Agora, substituímos os cofatores na fórmula inicial: