Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno
Calcule o ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas funções no espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [0,1]. A matéria que vamos usar aqui é produto interno e como ele nos ajuda a encontrar ângulos entre vetores (ou funções, no nosso caso). Para isso, vamos precisar calcular o produto interno das funções dadas e as normas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto interno entre duas funções
e
no espaço
. A definição é:
Então, para encontrar o produto interno entre
e
, vamos substituir essas funções na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral
precisa de integração por partes. Lembra como funciona? A gente escolhe
e
de forma que:
Vamos escolher
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 6
Agora que temos as duas integrais calculadas, podemos encontrar
:
Passo 7
Para calcular o ângulo entre as funções, precisamos das normas de
e
. A norma de uma função
é dada por:
Vamos calcular
e
.
Primeiro, para
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 8
Calculando
:
Calculando
:
Já vimos que
, então:
Calculando
:
Passo 9
Somando todas as partes:
Calculando os termos numéricos:
Então:
Assim, a norma de
é:
Passo 10
Agora, vamos calcular
para
:
Então,
Passo 11
Finalmente, para encontrar o ângulo
entre
e
, usamos a fórmula do cosseno:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O ângulo entre as funções
e
no espaço vetorial dado é: