Seja o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno
Calcule o ângulo entre

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas funções no espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [0,1]. A matéria que vamos usar aqui é produto interno e como ele nos ajuda a encontrar ângulos entre vetores (ou funções, no nosso caso). Para isso, vamos precisar calcular o produto interno das funções dadas e as normas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto interno entre duas funções e no espaço . A definição é:
Então, para encontrar o produto interno entre e , vamos substituir essas funções na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral precisa de integração por partes. Lembra como funciona? A gente escolhe e de forma que:
Vamos escolher e . Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 6

Agora que temos as duas integrais calculadas, podemos encontrar :

Passo 7

Para calcular o ângulo entre as funções, precisamos das normas de e . A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando :
Calculando :
Já vimos que , então:
Calculando :

Passo 9

Somando todas as partes:
Calculando os termos numéricos:
Então:
Assim, a norma de é:

Passo 10

Agora, vamos calcular para :
Então,

Passo 11

Finalmente, para encontrar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O ângulo entre as funções e no espaço vetorial dado é:

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