Seja V=C([0,1], R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno
lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
Calcule o ângulo entre
f(x)=x+e^x e g(x)=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas funções no espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [0,1]. A matéria que vamos usar aqui é produto interno e como ele nos ajuda a encontrar ângulos entre vetores (ou funções, no nosso caso). Para isso, vamos precisar calcular o produto interno das funções dadas e as normas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto interno entre duas funções lang<= f, g rang<= = integral0^1 f(x) g(x) , dx e no espaço . A definição é:
Então, para encontrar o produto interno entre e , vamos substituir essas funções na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular lang<= f, g rang<= = integral0^1 (x + e^x) cdot x , dx = integral0^1 x^2 + x e^x , dx :
lang<= f, g rang<= = integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 x e^x , dx
Agora, vamos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
Agora, a segunda integral integral u , dv = u v - integral v , du precisa de integração por partes. Lembra como funciona? A gente escolhe du = dx e v = integral e^x , dx = e^x e de forma que:
Vamos escolher e . Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ x e^x - e^x ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1

Passo 6

Agora que temos as duas integrais calculadas, podemos encontrar lang<= f, g rang<= = 13 + 1 = 43 :

Passo 7

Para calcular o ângulo entre as funções, precisamos das normas de | f | = raiz lang<= f, f rang<= e lang<= f, f rang<= = integral0^1 (x + e^x)^2 , dx = integral0^1 x^2 + 2x e^x + e^2x , dx . A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando integral0^1 x^2 , dx = 13 :
2 integral0^1 x e^x , dx = 2 cdot 1 = 2
Calculando integral0^1 e^2x , dx = 12 [ e^2x ]0^1 = 12 (e^2 - 1) :
Já vimos que , então:
Calculando :

Passo 9

Somando todas as partes:
lang<= f, f rang<= = 13 + 2 + 12(e^2 - 1) = 13 + 2 + e^22 - 12 = 13 + 32 + e^22
Calculando os termos numéricos:
13 + 32 = 26 + 96 = 116
Então:
lang<= f, f rang<= = 116 + e^22
Assim, a norma de | f | = raiz 116 + e^22 é:

Passo 10

Agora, vamos calcular lang<= g, g rang<= = integral0^1 x^2 , dx = 13 para | g | = raiz 13 :
Então,

Passo 11

Finalmente, para encontrar o ângulo cos theta = lang<= f, g rang<= | f | cdot | g | entre cos theta = 43 raiz 116 + e^22 cdot raiz 13 = 43 raiz ( 116 + e^22 ) cdot 13 e , usamos a fórmula do cosseno:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O ângulo entre as funções theta = arccos ( 4/3 raiz 116 + e^22 cdot raiz 13 ) e no espaço vetorial dado é:

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