Seja o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno
Calcule o ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas funções no espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [0,1]. A matéria que vamos usar aqui é produto interno e como ele nos ajuda a encontrar ângulos entre vetores (ou funções, no nosso caso). Para isso, vamos precisar calcular o produto interno das funções dadas e as normas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto interno entre duas funções e no espaço . A definição é:
Então, para encontrar o produto interno entre e , vamos substituir essas funções na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral precisa de integração por partes. Lembra como funciona? A gente escolhe e de forma que:
Vamos escolher e . Então, calculamos e :
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 6
Agora que temos as duas integrais calculadas, podemos encontrar :
Passo 7
Para calcular o ângulo entre as funções, precisamos das normas de e . A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 8
Calculando :
Calculando :
Já vimos que , então:
Calculando :
Passo 9
Somando todas as partes:
Calculando os termos numéricos:
Então:
Assim, a norma de é:
Passo 10
Agora, vamos calcular para :
Então,
Passo 11
Finalmente, para encontrar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O ângulo entre as funções e no espaço vetorial dado é: