Calcule
det A=|cccc 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6 |

Passo 1

Então, temos que calcular o determinante da matriz det A = |cccc 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6 | dada por:
Vamos trabalhar com a matéria de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos utilizar uma técnica chamada eliminação de Gauss, que transforma a matriz em uma forma triangular, facilitando o cálculo do determinante multiplicando os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a eliminação de Gauss envolve usar operações elementares de linha para simplificar a matriz. As operações permitidas são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Usaremos essas operações para zerar os elementos abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Começamos com a matriz original:
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6
O objetivo é ter zeros abaixo do elemento .

Passo 4

Vamos eliminar o elemento L3 = L3 - ( 53 times L1 ) . Para isso, usamos a primeira linha:
  • Multiplicamos a primeira linha por L3 = [5, 6, 7, 2] - 53[3, 2, 1, 4] = [5 - 5, 6 - 103, 7 - 53, 2 - 203] = [0, 83, 163, -143] e subtraímos da terceira linha.
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 0 & 83 & 163 & -143 3 & 1 & 4 & 6
Calculando:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento L4 = L4 - L1 da primeira coluna. Usamos novamente a primeira linha:
  • Subtraímos a primeira linha da quarta linha.
L4 = [3, 1, 4, 6] - [3, 2, 1, 4] = [0, -1, 3, 2]
Calculando:
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 0 & 83 & 163 & -143 0 & -1 & 3 & 2
A matriz atualizada é:

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos ter zeros abaixo do elemento L3 = L3 - ( 83 times L2 ) .
Primeiro, eliminamos L3 = [0, 83, 163, -143] - 83[0, 1, 9, 8] = [0, 0, 163 - 24, -143 - 643] = [0, 0, -563, -783] :
  • Subtraímos L3 = [0, 0, -563, -26] vezes a segunda linha da terceira linha.
Calculando:
Simplificando:

Passo 7

Em seguida, eliminamos L4 = L4 + L2 :
  • Adicionamos a segunda linha à quarta linha.
L4 = [0, -1, 3, 2] + [0, 1, 9, 8] = [0, 0, 12, 10]
Calculando:
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 0 & 0 & -563 & -26 0 & 0 & 12 & 10
A matriz agora é:

Passo 8

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos ter um zero abaixo de L4 = L4 - ( -914 times L3 ) .
Eliminamos L4 = [0, 0, 12, 10] - ( -914 times [0, 0, -563, -26] ) = [0, 0, 12, 10] + [0, 0, 50442, 23414] = [0, 0, 12 + 12, 10 + 16.714] = [0, 0, 24, 26.714] :
  • Multiplicamos a terceira linha por -914 times [0, 0, -563, -26] = [0, 0, 50442, 23414] = [0, 0, 12, 16.714] e subtraímos da quarta linha.
L4 = [0, 0, 12, 10] + [0, 0, 12, 16.714] = [0, 0, 24, 26.714]
Calculando:
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 0 & 0 & -563 & -26 0 & 0 & 24 & 26.714
No entanto, houve uma simplificação errada aqui. Vamos recalcular:
Multiplicando a terceira linha por :
Então:
Agora, a matriz fica:

Passo 9

Vamos simplificar a quarta linha dividindo-a por 24 para facilitar:
L4 = 124 L4 = [0, 0, 1, 26.71424] approx [0, 0, 1, 1.113]
Agora, a matriz fica:
cccc|c 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 0 & 0 & -563 & -26 0 & 0 & 1 & 1.113

Passo 10

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelos fatores que usamos nas operações de linha (neste caso, não houve troca de linhas ou multiplicação que afetasse o determinante).
Calculando o produto:
det A = 3 times 1 times (-563) times 1.113 approx 3 times 1 times (-18.666) times 1.113 approx -62.0

Resposta

O determinante da matriz é aproximadamente .

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