Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
2. Quais dos vetores de B podem ser escritos como combinação linear dos outros vetores de B e quais não?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores v1 = (1, 3, 2), v2 = (1, 3, 3), v3 = (1, 2, 2), v4 = (1, -2, 2) onde:
O que a questão pede é para descobrir quais desses vetores podem ser escritos como combinações lineares dos outros. Isso envolve entender o que é uma combinação linear e verificar a independência linear dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um número (escalar) e esses produtos são somados. Por exemplo, dizer que v2 = a cdot v1 + b cdot v3 é uma combinação linear de e significa que existem números e tais que:
Para descobrir se isso é possível para algum vetor em , vamos montar sistemas de equações.

Passo 3

Vamos começar verificando se (1, 3, 3) = a cdot (1, 3, 2) + b cdot (1, 2, 2) pode ser escrito como combinação linear de 1 = a + b 3 = 3a + 2b 3 = 2a + 2b e . Ou seja, queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
1 = a + b Rightarrow b = 1 - a
Substituindo 3 = 3a + 2(1 - a) 3 = 3a + 2 - 2a 3 = a + 2 a = 1 na segunda equação:
b = 1 - 1 = 0
Agora, substituindo 3 = 2(1) + 2(0) = 2 neq 3 na expressão para :
Vamos verificar na terceira equação:
Isso significa que não há solução para esse sistema, ou seja, não pode ser escrito como combinação linear de e .

Passo 5

Vamos agora verificar se (1, 2, 2) = a cdot (1, 3, 2) + b cdot (1, 3, 3) pode ser escrito como combinação linear de 1 = a + b 2 = 3a + 3b 2 = 2a + 3b e b = 1 - a . Procuramos 2 = 3a + 3(1 - a) 2 = 3a + 3 - 3a 2 = 3 e tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso é impossível, então não existe tal combinação. Portanto, não pode ser escrito como combinação linear de e .

Passo 6

Agora, vamos verificar se (1, -2, 2) = a cdot (1, 3, 2) + b cdot (1, 3, 3) + c cdot (1, 2, 2) pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores 1 = a + b + c -2 = 3a + 3b + 2c 2 = 2a + 3b + 2c , e . Procuramos , e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 7

Primeiro, da primeira equação:
1 = a + b + c Rightarrow c = 1 - a - b
Substituindo -2 = 3a + 3b + 2(1 - a - b) -2 = 3a + 3b + 2 - 2a - 2b -2 = a + b + 2 a + b = -4 na segunda equação:
2 = 2a + 3b + 2(1 - a - b) 2 = 2a + 3b + 2 - 2a - 2b 2 = b + 2 b = 0
Agora, substituindo a = -4 na terceira equação:
-4 cdot v1 + 0 cdot v2 + 5 cdot v3 = -4(1,3,2) + 0(1,3,3) + 5(1,2,2) = (-4, -12, -8) + (0,0,0) + (5,10,10) = (1, -2, 2) = v4
Agora, de e :
E
Vamos verificar:
Então, pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

Apenas o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em . Os vetores , e não podem ser expressos como combinações lineares dos demais vetores de .

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