Sejam e .
2. Quais dos vetores de podem ser escritos como combinação linear dos outros vetores de e quais não?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores onde:
O que a questão pede é para descobrir quais desses vetores podem ser escritos como combinações lineares dos outros. Isso envolve entender o que é uma combinação linear e verificar a independência linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um número (escalar) e esses produtos são somados. Por exemplo, dizer que é uma combinação linear de e significa que existem números e tais que:
Para descobrir se isso é possível para algum vetor em , vamos montar sistemas de equações.
Passo 3
Vamos começar verificando se pode ser escrito como combinação linear de e . Ou seja, queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Primeiro, da primeira equação:
1 = a + b Rightarrow b = 1 - a
Substituindo 3 = 3a + 2(1 - a) 3 = 3a + 2 - 2a 3 = a + 2 a = 1 na segunda equação:
b = 1 - 1 = 0
Agora, substituindo 3 = 2(1) + 2(0) = 2 neq 3 na expressão para :
Vamos verificar na terceira equação:
Isso significa que não há solução para esse sistema, ou seja, não pode ser escrito como combinação linear de e .
Passo 5
Vamos agora verificar se (1, 2, 2) = a cdot (1, 3, 2) + b cdot (1, 3, 3) pode ser escrito como combinação linear de 1 = a + b 2 = 3a + 3b 2 = 2a + 3b e b = 1 - a . Procuramos 2 = 3a + 3(1 - a) 2 = 3a + 3 - 3a 2 = 3 e tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso é impossível, então não existe tal combinação. Portanto, não pode ser escrito como combinação linear de e .
Passo 6
Agora, vamos verificar se (1, -2, 2) = a cdot (1, 3, 2) + b cdot (1, 3, 3) + c cdot (1, 2, 2) pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores 1 = a + b + c -2 = 3a + 3b + 2c 2 = 2a + 3b + 2c , e . Procuramos , e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 7
Primeiro, da primeira equação:
1 = a + b + c Rightarrow c = 1 - a - b
Substituindo -2 = 3a + 3b + 2(1 - a - b) -2 = 3a + 3b + 2 - 2a - 2b -2 = a + b + 2 a + b = -4 na segunda equação:
2 = 2a + 3b + 2(1 - a - b) 2 = 2a + 3b + 2 - 2a - 2b 2 = b + 2 b = 0
Então, pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Resposta
Apenas o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores em . Os vetores , e não podem ser expressos como combinações lineares dos demais vetores de .