Sejam X, Y subconjuntos do espaço vetorial V. Mostre que a soma do subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por X cup Y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos, e , de um espaço vetorial . O problema nos pede para mostrar que a soma dos subespaços gerados por e é igual ao subespaço gerado pela união desses conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o subespaço gerado por um conjunto e como funciona a soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o subespaço gerado por um conjunto. O subespaço gerado por , denotado por , é o menor subespaço de que contém todos os vetores de . Isso significa que inclui todas as combinações lineares possíveis dos vetores em .

Passo 3

Agora, vamos entender a soma de dois subespaços. A soma span(X) + span(Y) = u + v mid u in span(X), v in span(Y) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja,

Passo 4

Vamos agora mostrar que qualquer vetor em pertence a e vice-versa.
Primeiro, seja . Então, pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de . Podemos separar essa combinação em uma parte que envolve apenas vetores de e outra que envolve apenas vetores de , implicando que está na soma .
Por outro lado, seja . Então, é a soma de um vetor de e um vetor de . Cada um desses vetores pode ser expresso como combinações lineares de vetores de e , respectivamente. Portanto, é também uma combinação linear de vetores de , o que significa que .

Resposta

Assim, mostramos que .

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Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
2. Quais dos vetores de B podem ser escritos como combinação linear dos outros vetores de B e quais não?
Calcule
det A=|cccc 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6 |
Considere os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2), v3=(-2,-1,0)
em R^3.
  1. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3 ?
    (d) (-1,2,3).
Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
  1. Mostre que se X subseteq Y e X é LD, então Y é LD.