Sejam subconjuntos do espaço vetorial . Mostre que a soma do subespaço gerado por e o subespaço gerado por é o subespaço gerado por .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos, e , de um espaço vetorial . O problema nos pede para mostrar que a soma dos subespaços gerados por e é igual ao subespaço gerado pela união desses conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o subespaço gerado por um conjunto e como funciona a soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o subespaço gerado por um conjunto. O subespaço gerado por , denotado por , é o menor subespaço de que contém todos os vetores de . Isso significa que inclui todas as combinações lineares possíveis dos vetores em .
Passo 3
Agora, vamos entender a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja,
Passo 4
Vamos agora mostrar que qualquer vetor em pertence a e vice-versa.
Primeiro, seja . Então, pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de . Podemos separar essa combinação em uma parte que envolve apenas vetores de e outra que envolve apenas vetores de , implicando que está na soma .
Por outro lado, seja . Então, é a soma de um vetor de e um vetor de . Cada um desses vetores pode ser expresso como combinações lineares de vetores de e , respectivamente. Portanto, é também uma combinação linear de vetores de , o que significa que .